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対象システムが構造的不確かさをもつ場合に有効なロバスト制御法。 今回はSISOシステムのみ取り上げるが、MIMOにも拡張可能。 詳しくはJ. E. Slotine, W. Li, “Applied Nonlinear Control”, 1991を参照。 仮定 次のシステムを制御したいとする。 $$x^{(n)} = f({\bf x}) + b({\bf x})u$$ ここで、${\bf x}=[x \ \dot x \cdots x^{(n-1)}]^T$は状態ベクトル, $u$はスカラーの入力である。 また、$f$は不確かさを含む関数であるとする。 具体的には、我々は推定値$\hat f$のみを知ることができるものとし、これらの関数はある既知の関数$F({\bf x})$に対して $$\left|\hat f-f\right|\le F$$ を満たすとする。$b$もまた $$0 < b_{min} \le b \le b_{max}$$ の不確かさを持つとし、我々が知ることのできる値は推定値 $$\hat b = (b_{min} b_{max})^{1/2}$$ のみであるとする。 問題 ${\bf x}$を望ましい状態${\bf x}_d=[x_d \ \dot x_d \cdots x^{(n-1)}_d]$に追従させる$u$を設計せよ。 ただし、望ましい状態${\bf x}_d$は${\bf x}_d(0) = {\bf x}(0)$を満たすとする (テクニカルな仮定。ここでは説明しない) 。 導出 まずは簡単なシステムで 簡単のため$b$についての不確かさを一旦無視して$b({\bf x}) = 1$とし、対象システムは簡単な二次系 $$\ddot x = f({\bf x}) + u$$ であるとする。 また、これ以後、$\tilde{\bf x} := {\bf x}-{\bf x}_d$と定義する。 もしある正数$\lambda$を設計したうえで、状態フィードバック $$u = -\hat f({\bf x}) + \ddot x_d - \lambda \dot{\tilde{x}}$$ を生成すると、閉ループ系は $$\ddot{\tilde{x}} = - \lambda \dot{\tilde{x}}$$ と計算でき、$\dot{\tilde{x}}\rightarrow 0$すなわち${\bf x}\rightarrow{\bf x}_d$を満たす。 ただし、この結果が成り立つのは、$f$が不確かさを含まない (すなわち$\hat f=f$が成り立つ) ときであり、推定値が真値と一致しない場合はこの限りでない。 ...

ヨーロッパに来て半年になるので、つらつらと思うことを書き残しておく。 #研修内容について 今年度は、ヴルカヌス・プログラムという奨学金付きのインターンシッププログラムに参加しており、ベルギーにあるシーメンスのソフトウェア部門で航空機の制御に関わる仕事をしている。 航空機への制御を学ぶためには、航空機自体がどのような動特性を持っているかを知らなければならないが、僕にはその知識が全くなかったため、研修は航空力学を勉強することから始まった。 物理の知識がラグランジュ方程式くらいで止まっている僕にとって、航空力学の理論は難しく感じられ、これまでのところとてもじゃないが全てを理解したとは言いがたい。 先日edXでMITxから提供されている、Introduction to Aerodynamicsという講義を見つけたので、是非受講しようと思っている。 話がそれるが、最近こういったオンラインの講義を受講するのにハマっており、先日は機械学習の講義を受け終えた。 各講義のクオリティはとても高く、この先大学のもつ教育機関としての側面は、こうしたサービスの登場により変わっていくんじゃないかと思う。 それはさておき、まだ航空機についての知識は足りていないものの、最近はようやく制御シミュレーションに取り掛かり始めている。 当然だが制御工学は自分の専門であるので、以前にもまして興味をもって取り組むことができている。 僕がこれまで学び、実装したことのある制御法は、その殆どが基礎的な線形制御法に過ぎなかったため (僕の研究内容は解析がメインだったと言い訳をしておく) 、モデル追従制御や入出力線形化など、今まで詳しく知らなかった制御理論を学べたのは嬉しい誤算だった。 制御理論を航空機にどう実装するかについても、上司からいろいろと面白い話を聞けた。 例えば、高度や速度などの飛行状態によって動特性が変わる航空機では、平衡点も変わるため、制御のための線形化はその都度おこなう必要がある。 しかしながら、線形化のためには平衡点を求めなくてはならず、計算には時間がかかる。 このため、いくつかの航空機では、予め数百もの状態の組み合わせに対する線形化モデル、またはモデルに対する制御器のパラメータを計算して、メモリに格納しておき、それを呼び出し、補完しながら制御するのだそうだ。 実はゲインスケジュール制御は航空分野から生まれた制御法であるらしく、こうした背景があったことを考えれば納得できる。 #ベルギーについて ここルーヴェンは、ベルギーで一番大きな大学街として知られる町だ。 にもかかわらず、深夜に開いているコンビニなどはなく、日曜はどこのお店も開いてない。 そのため、日本で暮らす感覚でいると、休みの日に食べるものがなくて詰む。 アイルランドでも同様の傾向は見られたが、向こうでは首都ダブリンに滞在していたためか、中心部は日曜も賑わっており、あまり不便しなかった。 はじめは暮らしにくい町だと感じたものだが、順応してきた今では、むしろ働く側に優しい仕組みなのかもしれないと思うに至っている。 実際、僕が働く会社では、仕事はどんなに遅くとも19:00で切り上げられるし、人々は日曜にピクニックやスポーツを思う存分楽しんでいるように見える。 不便さを受け入れることで享受できる暮らしのゆとりと、際限なく働くことで経済を循環させる資本主義の宿命。 世の中にはこうしたトレードオフが無数にあることに気づく。 ところで、シーメンスでは様々な国から来た人が働いており、僕のようなアジア人も少なからず見かける。 観測範囲ではイタリア人が最も多く、オランダ人、フランス人、中国人、インド人、日本人や韓国人、と続く。 ドイツ人を見かけないのは、おそらくだが、ドイツ人の労働環境はこちらより優れているのでわざわざ他国に出向く必要はないという理由によるのだろう。 彼らは皆、自国の人と話すときは自国語で、他国の人と話すときは英語でコミュニケーションをする。 語学学校の時と違い、彼らが全く言葉に詰まることなく、母国語のように英語を話す様には、はじめ驚いた。 また、町を歩いてみても、アジア人を多く見かけるし、僕のアパートには大学に通うためにスロベニアからやってきた学生が住んでいる。 周囲を他国に囲まれている地理的要因、EUの本部を首都に抱える政治的要因などが、こうした国際的な環境の形成を助けたのだろうか。 #今後について 正直、4月からここまであっという間だった。 良くも悪くも研究室とは違い、具体的な目標が課せられない毎日であり、自分で明確な目標をもつ必要性を日々感じている。 残り半年、無為に過ごして後悔の残らないよう、自戒しつつ過ごしていきたい。

###概要 XCodeのバージョンを7にアップデートした際にMexがコンパイルエラーを吐くようになった。 こちらに解決法が載っていたので、そのまま紹介。 ###自分の環境 OSX Yosemite (10.10.5) Matlab R2014b ###解決法 Matlabのコンソールで edit ([matlabroot '/bin/maci64/mexopts/clang_maci64.xml']) とタイプ。出力されたファイルの後半 <dirExists name="$$/Platforms/MacOSX.platform/Developer/SDKs/MacOSX10.9.sdk" /> の次の行に <dirExists name="$$/Platforms/MacOSX.platform/Developer/SDKs/MacOSX10.10.sdk" /> <dirExists name="$$/Platforms/MacOSX.platform/Developer/SDKs/MacOSX10.11.sdk" /> を追加、また <cmdReturns name="find $$ -name MacOSX10.9.sdk" /> の次の行に <cmdReturns name="find $$ -name MacOSX10.10.sdk" /> <cmdReturns name="find $$ -name MacOSX10.11.sdk" /> を追加 (それぞれ2箇所ある)。 これでMexでのコンパイルが復活する。 ただしこの方法は非公式なので、一応バックアップをとっておくのが吉。 自分はC++ (clang++_maci64.xml) 、gfortran (gfortran.xml) についても同様の変更を行った。

概要 もう2年前のことになるが、当時大学院入試を控えていた僕は、いろいろ考えた末に京都大学の情報学研究科システム科学専攻を受験することに決めた。 そこで今日は自分がどのように入試に臨んだかを書き記しておく。 過去問 まずはなんといっても過去問。 システム科学専攻の公式HPに置いてある。 試験内容は 基礎科目 (微積分・線形代数) 専門科目 (論理回路・機械力学・工業数学・基本ソフトウエア・電気電子回路・確率統計・制御工学・オペレーションズリサーチから2問選択) からなる。 本番までに5年分は解いておきたいが、まずは雰囲気を掴むためにも1年分解いておくといい。 参考書 頭のいい人なら過去問だけでもなんとかなるのだろうけど、僕のような凡人は問題集を使って足りない頭を補強することにした。 基礎科目である数学は、専門科目に比べ難易度が高めなため、極めれば得点源になる。 自分は微積分と線形代数の勉強としてそれぞれ、演習大学院入試問題 <数学> Iの1章と2章を取り組んだ。 専門科目は制御工学と工業数学を選んだ (周りを見てもこの組み合わせが多かったように思う) 。 制御については フィードバック制御入門 (システム制御工学シリーズ) の各章の章末問題を解き、工業数学は 演習大学院入試問題〈数学〉II の2章をやった。また、万が一の予備科目として論理回路を 論理回路の基礎 で勉強した。 僕の場合、春休みまでに英語の試験を受け終え、4月から基礎にじっくり取り組み、専門は残り1ヶ月程度取り組んだ。 要領のいい人なら合計2ヶ月弱で終えられると思う。 また自分で言うのも何だが、ここでセレクトした参考書には少し自信がある。 基礎数学と制御工学に関しては、参考書そのままの問題が過去問に出て、「あ！これ進研ゼ (ry」となったこともある。 参考書選びで迷っている人には、強くお薦めします。 その他 下賤な話だが、本専攻の入試は他大学院に比べ設問自体少なく、各年の傾向も似通っているため、穴場だと思う。 とはいえ最も大事なのは、大学院で何をやりたいのか明確な目標をもつことだろう。 目標をもつことは試験勉強のモチベーションに繋がるし、進学後にやるべきことも明確になる。 具体的な目標をイメージしづらい人は、前もって研究室見学には行くといいだろう。 現在主にどのような研究をしているのか、どんな実験器具があるのか、研究室の雰囲気はどうなのか、といった、ネットでは中々わからない情報が手に入る。 研究室のメンバーも外部からの刺激に飢えている (?) ので、歓迎してくれるはず (もちろんアポは忘れないこと) 。 また余裕がある人は、研究室のメンバーが書いた論文を読んでみることをお薦めする。 漠然とした研究内容を具体的に把握でき、やる気が高まるし、研究内容のミスマッチを防ぐこともできる。 本専攻ヒューマンシステム論分野にご在任の加納学教授のブログには、大学院進学に関してたくさんのアドバイスが書かれている。 例えばこのエントリなどは大学院進学を決意するにあたってはじめに読んでおきたい。 演習大学院入試問題 数学 1posted with amazlet at 15.09.21姫野 俊一 陳 啓浩 サイエンス社 売り上げランキング: 319,873 Amazon.co.jpで詳細を見る 演習大学院入試問題〈数学〉IIposted with amazlet at 15.09.21姫野 俊一 陳 啓浩 サイエンス社 売り上げランキング: 293,218 Amazon.co.jpで詳細を見る フィードバック制御入門 (システム制御工学シリーズ)posted with amazlet at 15.09.21杉江 俊治 藤田 政之 コロナ社 売り上げランキング: 8,808 Amazon.co.jpで詳細を見る 論理回路の基礎posted with amazlet at 15.09.21田丸 啓吉 工学図書 売り上げランキング: 462,875 Amazon.co.jpで詳細を見る

入出力線形化 (フィードバック線形化) とは 非線形システムに、非線形性を打ち消すような入力を加える事で、閉ループ系を線形化する制御法。 安定化が目的ではないので、得られた線形システムに対して線形制御法を適用する必要がある。 利点として 通常の(ヤコビアンを用いる)線形化と違って、近似を用いない 欠点として システムの動特性を全て知っていなければならない その動特性は正方、入力アフィンという形をしていなければならない (拡張可能) 線形化のために大きな入力を加えるため、入力飽和などのあるシステムに適用しづらい などが挙げられる。 入出力線形化 #仮定 今、制御対象が以下の動特性に従うとする。 $$\dot x = f(x) + g(x)u\ y=h(x)$$ $x(t) \in R^n, u(t) \in R^m, y(t) \in R^m$はそれぞれ状態、入力、出力を表す。 $f:R^n\rightarrow R^n$および$g: R^n\rightarrow R^{n\times m} $については特になにも仮定しないが、$h: R^n\rightarrow R^m$は必要回数分だけ微分可能だとする。 このシステムは入力に対してアフィンな形をしているため、そのまま入力アフィン (input-affine, control-affine) と呼ばれる。 入力アフィンシステムは、機械システムなどによくみられる、非常に重要なクラスらしい。 また、今回入力と出力の次元は同じと仮定している。 このことをシステムは正方 (square) であるという。 #線形化制御器 今、 $$u = C(x,v)$$ を設計することで、与えられた非線形システムを$v$から$y$に対して線形にすることを考える。 この問題に対して、いきなりだが制御器$u$を、下記で与えてみよう。 $$u = L_gh^{-1}(x)(-L_fh(x) + v)$$ ここで、Lie微分と呼ばれる記法 $$L_fh(x) = \frac{\partial h}{\partial x} f(x)\ L_gh(x) = \frac{\partial h}{\partial x} g(x)$$ を用いた。 ...

筆者は終始「節目の期間はしっかりキャリアについて考える。それ以外の期間では目の前のことに打ち込み、時には偶然に流される(ドリフトする)ことも必要」という主張に徹する。 なので、この主張を真に理解している人は本書を手にする必要はないと思う。 本書のメインターゲットは就活生とミドル世代の2種類である。 また本書では、これらの層を想定したいくつかのエピソードやエクササイズが紹介されていて、キャリアデザインを「自分の問題」として考えさせる工夫が凝らされている。 個人的に、以下の自己イメージに関するエクササイズに考えさせられた。 自分はなにが得意か。 自分はいったいなにをやりたいのか。 どのようなことをやっている自分なら、意味を感じ、社会の役に立っていると実感できるのか。 それぞれの問いは 能力・才能についての自己イメージ 動機・欲求についての自己イメージ 意味・価値についての自己イメージ を照射しているという。キャリアを意識する上で、避けては通れない質問だと感じた。 また、筆者は本書のはじめに「研究に基づく見解」を披露すると述べており、個人的に「キャリアデザイン」という科学らしからぬ問題に対して、どのような研究が存在するかが興味をもった。 実際には、多数の論者の言葉や考え方を引用するものの、定量的な考察はあまり見受けられず、「研究」という言葉の意味の齟齬を感じた(多分これは僕の考える「研究」があまりに狭義であるため)。 しかしながら、それらの考え方の中には、確かにそうだな、と実感させられるものもあり、キャリアに対する態度を改める必要すら感じた。 例えば、筆者が参加したエンジニアリング産業の社長会に参加した際、ある社長から耳にした言葉と、それに対する筆者の考えなどは、覚えておきたいと思った。 「エンジニアリング産業の海外エンジのプロジェクトなんて、(中略)勘のいいバイタリティあふれる人なら、三十歳を超えるころには、だいたいプロジェクト・マネジメントができるようになる。そのあとは何箇所経験してもいっしょだ」 この発言は、キャリア・トランジション・サイクルというモデルの重要さを説くための例として用いられている。 このモデルは、ロンドンビジネススクールのナイジェル・ニコルソンにより提唱されたもので、 新しい世界に入る準備段階 実際にその世界にはじめて入っていって、いろいろ新たなことに遭遇する段階 新しい世界に徐々に溶け込み順応していく段階 もうこの世界は新しいとはいえないほど慣れて、落ち着いていく安定化段階 の4段階からなる。筆者によれば、このサイクルを螺旋状に上昇させていくことが、キャリアを発達させるために必要なことであり、上述の社長のようなサイクルは、望ましくないのだという(もちろん筆者は、エンジニアリング産業を批判したいわけではない)。 全体を通して、共感できないというか、納得できないというか、そういう記述もあり、それらはひとえに僕に社会人としての経験が不足していることによるものだと思う。 もしかすると、10年後くらいにもう一度読み直すことになるかもしれない。 働くひとのためのキャリア・デザイン (PHP新書)posted with amazlet at 15.06.02金井 壽宏 PHP研究所 売り上げランキング: 5,724 Amazon.co.jpで詳細を見る

某有名投資家のおすすめ書籍として紹介されていたことをきっかけに読み始めた。 株そのものに興味があるというよりも、日々ブログや経済ニュースで目にする用語を理解したかった。 全体として初学者にもわかりやすく、経済学の知見とそれに基づく著者の意見が記述されている。 ただ、数学が苦手な人への配慮から、数式による説明をすべてスキップしており、意見の根拠となる知見の導出過程が具体的にわかりづらい。 そのため、捻くれた読み方をすると「根拠の無い理論に踊らされることを警告しつつ、根拠の無い手法を提案する本」としてみなされかねない。 まあこの辺を言い出すと、経済学の教科書や学術論文以外の(またはこれらを含む)すべてを疑わなければならなくなり、きりがないのかもしれないけれど…… 数式による記述がないメリットとして、読み物としてとても読みやすく、(内容を無根拠に信じるという前提にたてば)投資に対する明快なアドバイスが書かれており、思わず実践してみたくなるほど興味深い。 また、確定拠出型年金に対するある種の最適戦略を与えており、就職後役立つ知識が得られたと思う。 以前、新保の『金融商品とどうつき合うか―仕組みとリスク (岩波新書)』を読んだが、重複する箇所も多少あった。 比較的原理から説明してくれる本が『金融商品と〜』であり、より実践的なアドバイスが書かれているのが本書ということになると思う。 臆病者のための株入門 (文春新書)posted with amazlet at 15.05.15橘 玲 文藝春秋 売り上げランキング: 1,560 Amazon.co.jpで詳細を見る 金融商品とどうつき合うか―仕組みとリスク (岩波新書)posted with amazlet at 15.05.15新保 恵志 岩波書店 売り上げランキング: 423,798 Amazon.co.jpで詳細を見る

##カルマンフィルタとは 「離散時間システムの出力から、システムの状態を最小二乗の意味で推定する」 ##問題設定 今回はもっとも簡単な線形時不変の方程式 $ x(k+1)= A x(k) + Bu(k) + Gw(k)$ $ y(k) = Cx(k) + v(k)$ を考える。 ここで、$w(k),v(k)$はそれぞれ白色ガウスノイズであることを仮定し、その平均と共分散は $E[w(k)] = E[(v_k)] = 0$ $E[w(k)w(k)^T] = Q, E[v(k)v(k)^T] = R$ であるとする。$w(k)$と$v(k)$の間に相関はないものとする。 初期値もガウスであるとし、その平均と分散は $E[x(0)] = \bar x(0)$ $E[(x(0)-\bar x(0))(x(0)-\bar x(0))^T] = \Sigma_0$ であるとする。 今、時刻$k-1$までの入力${u(0),\ldots,u(k-1)}$(以後$U_0^{k-1}$と表示)と時刻$k$までの出力${y(1),\ldots,y(k)}$(以後$Y_1^{k}$と表示)がわかっているとする。 ###問題 $\hat x(k) = \text{argmin} E[(x(k)-\hat x(k))^T(x(k)-\hat x(k))]$ を満たす$\hat x(k)$を求めよ。 ##アイデア 上記の問題は、右辺を計算することで $\hat x(k) = \text{argmin} E[(x(k)-\hat x(k))^T(x(k)-\hat x(k)) | Y_1^k, U_0^{k-1}]$ と書き換えられる。 これを更に変形していくと、 $\hat x(k) = E[x(k)|Y_1^k, U_0^{k-1}]$ ...

アイルランドに来て3日経ちました。 入国後まずはじめにしたことが、通信環境を整えること。 アイルランドには主にVodafone, Meteor, 3(Three)などのキャリア会社がありますが、今回はMeteorのSIMカードを購入しました。 購入したのは月に15GBのデータ通信が使えるプランで、価格はなんと14.99€(日本円でおよそ2000円)。 ただしこちらは3Gの通信帯域のみでのプランです。 購入の際には、パスポートを提示したうえで、契約書にサインを求められます。 渡されたSIMを挿入し、付属のカードに書かれているPINコードを入力すれば、すぐに使うことが出来ました。 こちらはプリペイドタイプのSIMではなく、月ごとにカードを通して引き落としされる契約なので、解約の際にはショップに出向く必要があるそうです。 また、僕の場合は日本で購入してきたモバイルルータを使う都合、電話環境を整えられなかったのですが、必要な方には、3(Three)が提供している、月15GBのデータ通信に電話もかけ放題のプランをおすすめします。 こちらも価格は月に20€でとてもお買い得な上に、4G/LTEの帯域が使用可能です。 契約もプリペイドタイプなのでとても安心で、非の打ち所がありません。 アイルランドのSIM事情についてはこちらのページが詳しいようです(ただし、今回僕が契約したプランはこちらのサイトには掲載されていませんでした)。 キャリアが提供するプランは結構日々変動するみたいなので、アイルランドに来られる際には、ぜひ最寄りのショップに立ち寄ってみることをおすすめします。

ヴルカヌス・イン・ヨーロッパに参加しますに記載したとおり、1年間の語学研修とインターンシップに参加してきます。 僕の場合は、4ヶ月間アイルランドのダブリンで英語の語学研修を、残る8ヶ月間ベルギーのルーヴェンで企業研修を行います。 そもそもなぜこのようなプログラムに参加することになったのか。 海外への興味はもともとあったのですが、どちらかと言えば迫り来る就活時期を前に、自分がどんな分野で働きたいかが未だ見えず、焦っていたことが大きいように思います。 もともと重工系の企業に関心があり、なんとなく参加した夏のインターンシップ。 そこで得た結論は、「仕事にやりがいを感じられないと働くことはかなりつらい」ということでした。 このことはほとんど自明な事実だとは思うのですが、自分はもともと「やりがいなんてなくていいからまったり働きたい」という人間だったため、この発見はとても大きかったです。 一言添えておくと、参加したインターンの内容にやりがいが全くなかったわけではありません。 むしろ、自分の興味のど真ん中である大規模プラントを近くに感じられたのは本当によかった。 違和感を覚えたのは、巨大なプラントの設計や保守に携わるためには、巨大な会社が巨大なプロジェクトを運営し、その中で文字通り組み込まれるように働かなければならなかったことです。 自分のフォーカスがあまりにも狭く、「もの」が見えづらい研修内容だったと感じます。 他にも、大企業ならではの社風というか「しがらみ」というか、そういったものを意識せざるを得ませんでした。 では自分はどのように働きたいのか。 まず、プラントなどよりサイズの小さい「もの」を相手にする仕事が考えられます。そこで働けば相対的に自分のフォーカスが大きくなるんじゃないかという安直な発想です。 また、「超」のつく大企業は肌に合わないということも考えられます。ベンチャーで身を粉にして働くという感じではないので、その辺りはバランスだとは思います。 何れにせよ、今はまだ評価関数も作れていないし、探索区間からスパースな情報しか得られていない状態です。 そうした状態で最適解を求めようとしても、解が存在しなかったり、ローカルミニマルに陥ってしまったりしまうでしょう。 目下の課題は、なるべくたくさんの情報を集めて、それらをもとに最適化問題を正しく立式するといった感覚でいます。問題さえ立ててしまえば、解も見えてくるはず(多分…) この1年間はそのための準備期間として最大限活用したいと考えています。 もちろんせっかく海外に行かせてもらえるのだし、苦手意識のある英語を得意分野に変えるのは、1年を気持ちよく終えるための必要条件だと考えます。 また、研修を通して、今まで身につけた制御工学の理論的な知識を、業務に応用できるよう成長できたらと思います。 もし少しでも手応えを感じたら、海外で働くことも一度は視野に入れてみたいです。 正直いつまで学生でいるんだという周囲(特に家族)からの眼差しが気にならなくもないのですが、行くからには絶対成長して帰ってこようと思います。