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概要 インターン先で進捗をレポートにまとめるよう言われたので、この機会を利用して、Markdownで全部書いてみようと思い至りました。 Markdownはとても便利な記法ですが、引用や相互参照については少し手が届かないところがあります。 そこで今回、pandocとその拡張ツールであるpandoc-citeproc及びpandoc-cross-refを用いて、論文（っぽく見える文章）をMarkdownで書く環境を整えてみました。 あわよくば修論をこれで書きたい。 僕の環境 OS X El Capitan MacTeX 2015 cabalのインストール 今回使うツールであるpandocをインストールするために、cabalを導入します。 cabalとはHaskellのライブラリ管理ツールです（Pythonでいうpipみたいなもの）。 cabalはbrewからインストール可能です。 brew install cabal ついで cabal update で最新の状態にアップデートします。 またこのままでは、cabalで管理するパッケージをターミナルが認識できないので、パスを追加します。 .bash_profileに export PATH="/Users/user_name/.cabal/bin:$PATH" を追加します。 ちなみにホームディレクトリに.bash_profileがあるかは ls -la コマンドで確認できます。なかった場合は touch .bash_profile で作成してください。 pandocのインストール つぎに、今回の主役であるpandocをインストールします。 cabal install pandoc その後 which pandoc でパスが表示されれば成功です。 これでひとまず pandoc main.md -o main.pdf とすることでpdf出力できます。 pandoc-citeprocのインストール このままでもそれっぽいレポートが書けるのですが、参考文献に.bibファイルを使えるとさらに便利になるので、そのための環境を整えます。 cabal install pandoc-citeproc とタイプし、pandoc-citeprocという環境を用意します。 念のためここでもwhich pandoc-citeproc でパスを確認しときましょう。 pandoc-citeprocの使い方を説明します。 いつも使っている.bibファイルの名前を references.bib とします。 中身はよくある文献リストで、次のような感じだとします。 ...

LQG/LTR (Linear Quadratic Gaussian / Loop Transfer Recovery) とは LQGとは、カルマンフィルタを用いて推定した状態に対して、最適レギュレータを用いて状態フィードバックをおこなう、よく知られた制御法です。 LQGが時間領域での制御器設計であるのに対して、周波数領域での設計も考慮するのが、LQG/LTRです。 今回はStein G and Micheal A. The LQG/LTR procedure for multivariable feedback control designを参考にしました。 問題設定 今、制御対象が伝達関数行列$G(s)$としてモデリングされているとします。 ここで、制御対象は非最小位相系であり、同数の入出力をもつとします。 我々の目標は制御対象の出力$y$と参照入力$r$との偏差$e:=r-y$を受け取り、制御入力$u$を生成する制御器$K(s)$を実装することです。 ここで、制御器$K(s)$は以下の要求を満たすことを求められます。 安定化：$G(s)$を安定化する（有界な外乱$d$、参照入力$r$に対して、$y$が有界となる） 良い制御性能：$e$をできるだけ小さくする ロバスト安定化：$G_A(s)$を安定化する（後述） 1だけを達成するための方法はたくさんあるので、本記事では触れません。 2を達成するためには、外乱$d$や参照入力$r$が大きな値を持つ周波数領域で、感度関数 $$ S(s) = (I+G(s)K(s))^{-1} $$ を小さくすることが求められます。 ここでいう"小さい"とは、伝達関数の最大特異値$\sigma_{max}(S(j\omega))$が小さいという意味です。 3について説明します。 一般に、制御対象を完全にモデリングするのは不可能であり、何らかの不確かさを含むと考えるのが自然です。 これは例えば、真のモデルを$G_A(s)$とすると $$ G_A(s) = (I+L(s))G(s) $$ と表すことができます。 ここで、$L(s)$は乗法的不確かさを表す伝達関数行列であり、既知の$m(\omega)$と任意の$\omega$に対して $$ \sigma_{max}(L(j\omega)) < m(\omega) $$ なる関係が成り立つとします。 ここで、簡単な計算から、相補感度関数 $$ T(s) = G(s)K(s)(I+G(s)K(s))^{-1} $$ が任意の$\omega$に対して $$ \sigma_{max}(T(j\omega)) \le \frac{1}{m(\omega)} $$ を満たすことが、$G_A(s)$の安定性の必要十分条件として導出できます。 ...

得られたもの ボストンキャリアフォーラム（以下BCF）に参加してきました。 自分は17年度卒なので、就活には少し早いのですが、今年は経団連の指示で採用活動が早まるのと、帰ってから就活に時間を奪われるのが嫌で、あらかじめ選考を進められたらという思いもあっての参加です。 結論から言うと、やはり経団連のパワーのせいか「内定」とはっきりと言ってくれる会社はありませんでした。 しかしながら、ESを提出したのはおよそ10社のうち、4社から「合格」とメールで通知後、内定者の方々が参加するディナーへのお誘いをいただくことができました。 中には「いつまでなら返事をしてくれるか」とオワハラっぽいことをしてきた企業もありました。 今振り返ると、調子のいい言葉や美味しいご飯を使って、学生を確保しておきたい企業の意図を感じないでもないのですが、そのあたりは性善説で解釈したいと思います。 また、およそ1か月前から少しずつ準備をする中で、基本的な自己分析や業界研究を大分進めることができました。 おかげで帰国後の就活がスムーズに進みそうなのは、嬉しい副作用です。 雑感 実は今回が初のアメリカ訪問でした。 初めてヨーロッパに来た時は、町並みなど日本と全く違うことに衝撃を受けたものですが、今回あまり驚きがなかったのは、旅に慣れてきてしまったせいかもしれません。 ボストンは古い都市だと聞きますが、欧州の都市と比べると、むしろ日本の近代的な町並みに近いものを感じました。 また、BCF中に主にアメリカの大学で勉強している人たちと出会う機会があり、印象に残りました。 高校までインターナショナルスクールに通った後、正規留学してきた方や、僕と同じ制御系の研究をしている方で、修士課程を飛び級して博士課程に在籍している方など、日本にいたらまず出会えないような人たちとお話しすることができました。 すぐに人の影響を受ける僕は、どうして海外の大学に進学しなかったんだろうと少し後悔してしまいました。 さらに、空いた日には、MITやハーバード大学、ボストン美術館などを訪れることができ、全体として満足できる休暇になりました。 来年参加する方にアドバイス 奨学金の申請について 競争率は高そうです。 早い者勝ちなところがあるそうなので、申請開始日にちゃっちゃとしちゃいましょう。 また、以前別のキャリアフォーラムで受給している人には、支給されないようになっているそうなので、アカウントを作り直すなどの対策を打つといいかもしれません。 僕は申請が遅れたうえ、前回のロンドンキャリアフォーラムで受給していたのもあり、当然今回は受給できませんでした。 ホテルについて ネットで検索すると、ホテルは高いので早めに予約と書いてあるのですが、Airbnbなどを用いれば直前でも一泊4000円弱で予約できました。 予算を抑えたい方にはオススメです。

概要 前回はいわゆるフィードフォワードの最適制御について考えた。 すなわち、ある初期時刻$t_0$と初期状態$x(t_0)$が一つ与えられたときに、終端時刻$t_f$までに加える最適入力$u(t)$を求めようとした。 そして、最適な$u(t)$を求めるためには、オイラー・ラグランジュ方程式という微分方程式を解かなくてはならないことが示された。 このアプローチでは、初期状態$x(t_0)$が少しでも変化すると、オイラー・ラグランジュ方程式を新たに解き直す必要があり、とても時間が掛かる。 そこでここからは、フィードバックの最適制御について考える。 すなわち、任意の時刻$t$と状態$x(t)$が与えられたときに、終端時刻までに加える最適制御$u(x,t)$を求めたいのである。 問題 連続時間の非線形ダイナミクス $$\dot x = f(x,u,t)$$ にしたがうシステムに対して、状態フィードバック$u=u(x,t)$を設計することで、評価関数 $$J = \phi(x(t_f),t_f) + \int_{t}^{t_f}L(x(\tau),u(\tau),t)d\tau$$ を最小化したい。 ここで初期値$x,t$は任意であるとする。 必要条件 $J$を最小化する$u$が満たすべき方程式としてハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式 (HJB equation : Hamilton-Jacobi-Belman equation)が知られている。 これはハミルトニアン $$ H(x,\lambda,u,t):=L(x,u,t)+\lambda^t_f f(x,u,t) $$ 及び値関数 $$ J^o(x,t) = \min_u J $$ に対して $$ \frac{\partial J^o}{\partial t} + \min_u H\left(x,\frac{\partial J^o}{\partial x},u,t \right) = 0 $$ として記述される。 この偏微分方程式の境界条件は $$ J^o(x(t_f),t_f) = \phi(x(t_f),t_f) $$ である。 導出 値関数$J^o$は、「時刻$t$と、その時点で与えられたシステムの状態$x$に対して、その時刻以降$t_f$までに最適な入力を加えることにより最小化されたときのコスト」を表す。 ベルマンの最適性の原理により微小時刻$\Delta t$に対して $$ J^o(x(t),t) = \min_u\left\{ J^o(x(t+\Delta t), t+\Delta t) + \int_t^{t+\Delta t} L(x(\tau),u(\tau),\tau)d\tau \right\} $$ が成り立つ。 この式が意味するところは、「時刻$t$から$t_f$までに最適な入力を求める」のと、「時刻$t+\Delta t$から$t_f$までに最適な入力がすでに求まっているときに、時刻$t$から$t+\Delta t$までの最適な入力を求める」のは一緒、ということ。 $J^o(x(t+\Delta t),t+\Delta t)$をテーラー展開すると $$ J^o(x(t+\Delta t),t+\Delta t) = J^o(x(t),t) + \left\{ \frac{\partial J^o}{\partial x}f(x,u,t) + \frac{\partial J^o}{\partial t} \right\}\Delta t + O(\Delta t^2) $$ これを代入すると $$ J^o(x(t),t) = \min_u\left\{ J^o(x(t),t) + \left\{ \frac{\partial J^o}{\partial x}f(x,u,t) + \frac{\partial J^o}{\partial t} \right\}\Delta t + \int_t^{t+\Delta t} L(x(\tau),u(\tau),\tau)d\tau + O(\Delta t^2) \right\} $$ $J^o$及び$\frac{\partial J^o}{\partial t}$は$u$に陽に依存しないため、括り出して$\Delta t\rightarrow 0$とすると $$ \frac{\partial J^o}{\partial t} + \min_u\left\{ L(x,u,t) + \frac{\partial J^o}{\partial x}f(x,u,t) \right\} $$ が得られる。 残りはハミルトニアン及びラグランジュ乗数の定義を用いて終了。 ...

概要 今回からダイナミクスを持つシステムへの最適制御を考える。 考え方は前回の場合とそれほど変わらず、ダイナミクスを制約条件として考えると、必要条件として、二点の境界条件をもつ微分方程式が導出される。 今回はその導出と、問題を解くための数値計算法を紹介する。 教科書は引き続きE. Brysdn, Jr. Yu-Chi Ho, “Applied Optimal Control”, CRC Press, 1975を用いる。 離散時間システムの場合 問題 非線形の差分方程式で表されるつぎのシステムを考える。 $$ x(i+1) = f(x(i),u(i)), \quad x(0):\text{given}, \quad i = 0,\cdots,N-1. \tag{2.2.1} $$ ただし、$x(i)\in R^n$は状態ベクトル、$u(i)\in R^m$は入力ベクトルである。 以下の評価関数 $$J = \phi(x(N)) + \sum_{i=0}^{N-1}L(x(i),u(i))$$ を最小化する$u$を求めたい。 必要条件の導出 $(2.2.1)$は等式制約条件として捉えられる。 そのため、ラグランジュ乗数$\lambda(i)$を用いて $$\bar J := \phi(x(N)) + \sum_{i=0}^{N-1}\left[ L(x(i),u(i)) + \lambda^T(i+1){f(x(i),u(i)) - x(i+1)} \right] \tag{2.2.3}$$ を考える。 ハミルトニアン $$H^i := L(x(i),u(i)) + \lambda^T(i+1)f(x(i),u(i))$$ を定義すると、$(2.2.3)$は $$\bar J = \phi(x(N)) -\lambda^T(N)x(N) + \sum_{i=1}^{N-1}\left[ H^i - \lambda^T(i)x(i) \right] +H^0$$ と書き換えられる。 ...

kivyとは PythonのNUI(Natural User Interface)でのマルチタッチアプリケーション開発のためのオープンソースライブラリ。 一つのソースコードからAndroid、iOS、Linux、MacOSX、Windowsへと出力できるうえ、ライセンスフリーで使用できる。 今回はそんなkivyの本体と、OSX及びiOSへのパッケージング環境の導入に挑戦したが、情報が少なく結構苦労したので、メモしておく。 自分の環境 MacOSX 10.11 Yosemite Xcode 7.1 homebrew, pip導入済み kivyのインストール この辺を参考にしてインストールした。 まず、kivyの導入に必要なcythonとpygameをインストールする。 *11月3日23:25追記：下記のkivy-iosと最新のcythonの相性が悪いため、バージョン0.21をインストールする必要があることがわかった。 pip install cython==0.21 pip install pygame その後本体をインストールするのだが、最も好ましいと思われるpipを用いた方法はうまくいかず。 仕方ないので、brew caskを用いてインストール。 brew cask install kivy もしくはgitから直接 git clone http://github.com/kivy/kivy make でも良い。 上手くインストールされたか確かめるため、Hello Worldしてみよう。 適当なエディタでmain.pyを作成し import kivy kivy.require('1.8.0') ## replace with your current kivy version ! from kivy.app import App from kivy.uix.label import Label class MyApp(App): def build(self): return Label(text='Hello world') if __name__ == '__main__': MyApp().run() と記述。 その後作業ディレクトリで ...

概要 非線形最適制御の勉強を始めた。 実は去年授業で単位は取得したのだけれど、ほとんど覚えていないも同然なので、はじめからやり直すことにする。 教科書はE. Brysdn, Jr. Yu-Chi Ho, “Applied Optimal Control”, CRC Press, 1975を用いた。 式番号は教科書に倣った。 今回はとりあえず、ダイナミクスなしの最適化問題について、ざっと復習する。 制約なし最小化問題 問題 決定変数$u=[u_1 \ \cdots \ u_m]^T\in R^m$を決めることで、評価関数 $$L(u):R^m\rightarrow R$$ を最小化したい。 必要条件 $L$が$C^2$級の関数であるとき、$u$が最小値であるのための必要条件は $$\frac{\partial L}{\partial u} = 0 \tag{1.1.3}$$ 及び $$\frac{\partial^2 L}{\partial u^2} \succeq 0$$ が成り立つことである。 $(1.1.3)$を満たす$u$を停留点という。 十分条件 $u$が局所最小であるための十分条件は$(1.1.3)$及び $$\frac{\partial^2 L}{\partial u^2} \succ 0$$ が成り立つことである。 数値計算法 勾配法 (gradient decent) 、ニュートン法 (newton method) を始め、様々な数値計算法が用いられる。 等式制約付き最小化問題 問題 決定変数$u\in R^m$を決めることで等式制約 $$ f(x,u)=0 \tag{1.2.2} $$ のもと、評価関数 $$L(x,u): R^n\times R^m\rightarrow R$$ を最小化したい。ここで$x=[x_1 \ \cdots \ x_n]^T\in R^n, \ f=[f_1 \ \cdots \ f_n]^T:R^n\times R^m\rightarrow R^n$とおいた。 ...

自分には昔から何事においても、与えられた目標に対して最小限の努力でアプローチしようとする悪い癖がある。 この癖は多分、中高の陸上部時代に、きつい練習の中で少しずつ形成されはじめ、いつの間にか凝固してしまったものなんだと思う。 今まではそれでも誤魔化しながらなんとかやってきたのだけれど、今後大きなしっぺ返しを食らう予感もしていて、どうにか直したいと思っている。 そしてそのために「血反吐を吐くような努力をもってして、なお目標を達成できない」という経験は、失敗できる学生時代のうちに必要な経験だと感じていた（自分で書いていてマゾいと思う）。 けれども、そういう努力を要求される環境を積極的に自分で整えるほど、自分はマゾにはなれない。 そこで今回の海外生活に、そういう環境を期待していたのである。 さて、実際に飛び込んでみて、気づいたこと。 まず、これまでの自分の人生の側には、その都度適切な高さのハードルを置いてくれる先生のような役割の人がいて、その人たちのおかげで、今少し高いハードルを前にしても「これまでのように跳べば大丈夫」と思える自信がついてきている。 というのも、こっちに来てから毎日が、言語や文化の違いで戸惑うことばかりだけれど、それら一つ一つは今まで跳んできたハードルに比べれば、多分そんなに高くない。 悲観主義だと思っていた自分の性格が、経験のおかげで楽観主義に寄ってきていることに気づいた。 また、僕が海外生活に期待していたのは、今まで見たこともない巨大なハードルを次々に置かれるような過酷な環境だった。 けれども、現実は期待とは裏腹に、むしろそんなもの誰も置いてくれなかった。 インターンを始めた頃、簡単に感じられる課題と、何をしても褒めてくれる上司を前に、誇らしい気持ちになった。 けれどもすぐに、目標が誰かに与えられるだけの期間が終わり、自分で置いたハードルを自分で跳ぶことが要求されはじめていることに気づいた。 自分でハードルを置くというのは、自分が今できないことと向かい合うことと同義であり、実際やってみると結構きつい。 向かう方向や速度は正しいのか判断する、舵取りとしての技量も必要になり、そこに正解はない。 しかしやはり気持ちはポジティブだ。 きっとこの先、この舵取りとしての技量がもっと求められるようになってくるだろうし、そうなってほしいという期待がある。 まとめると、自分はこれまでまあまあ上手くやってきたし、これからもまだまだ未熟だという、ありきたりな結論に至る。 海外生活も残り5ヶ月。 学んで、考えて、身につけて帰ろう。

概要 制御対象のパラメータを同定しながら制御する制御法。 通常の制御法と違い、制御則の他に、適応則というのを設計する。 今回は、モデル規範型適応制御 (MRAC : Model Refference Adaptive Control) と呼ばれる手法を紹介する。 詳しくはJ. E. Slotine, W. Li, “Applied Nonlinear Control”, 1991を参照。 問題 次のシステムを制御したいとする。 $$a_ny^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots +a_0y = u$$ ここで、状態$y,\dot y\cdots,y^{(n-1)}$は可測であるが、係数${\bf a} = [a_n \ \cdots \ a_1 \ a_0]^T$は未知であるとする。つまり、このシステムは、一次系、二次系などの構造はわかっているけれど、パラメータに不確かさを含むシステムである。ここで、$a_n$の符号のみは既知とする。 我々の制御目的は、$y$を望ましい参照モデルの応答 $$\alpha_ny_m^{(n)} + \alpha_{n-1}y_m^{(n-1)} + \cdots +\alpha_0y_m = r$$ に追従させることである。 制御則の選択 $z$を以下で定義する。 $$z := y_m^{(n)} - \beta_{n-1}e^{(n-1)} - \cdots - \beta_0e$$ ここで、$\beta_1, \cdots, \beta_n$は、多項式$s^n+\beta_{n-1}s^{n-1} + \cdots + \beta_0$がフルビッツになるよう選ばれた、設計パラメータである。 また、$e:=y-y_m$は追従誤差である。 ...

対象システムが構造的不確かさをもつ場合に有効なロバスト制御法。 今回はSISOシステムのみ取り上げるが、MIMOにも拡張可能。 詳しくはJ. E. Slotine, W. Li, “Applied Nonlinear Control”, 1991を参照。 仮定 次のシステムを制御したいとする。 $$x^{(n)} = f({\bf x}) + b({\bf x})u$$ ここで、${\bf x}=[x \ \dot x \cdots x^{(n-1)}]^T$は状態ベクトル, $u$はスカラーの入力である。 また、$f$は不確かさを含む関数であるとする。 具体的には、我々は推定値$\hat f$のみを知ることができるものとし、これらの関数はある既知の関数$F({\bf x})$に対して $$\left|\hat f-f\right|\le F$$ を満たすとする。$b$もまた $$0 < b_{min} \le b \le b_{max}$$ の不確かさを持つとし、我々が知ることのできる値は推定値 $$\hat b = (b_{min} b_{max})^{1/2}$$ のみであるとする。 問題 ${\bf x}$を望ましい状態${\bf x}_d=[x_d \ \dot x_d \cdots x^{(n-1)}_d]$に追従させる$u$を設計せよ。 ただし、望ましい状態${\bf x}_d$は${\bf x}_d(0) = {\bf x}(0)$を満たすとする (テクニカルな仮定。ここでは説明しない) 。 導出 まずは簡単なシステムで 簡単のため$b$についての不確かさを一旦無視して$b({\bf x}) = 1$とし、対象システムは簡単な二次系 $$\ddot x = f({\bf x}) + u$$ であるとする。 また、これ以後、$\tilde{\bf x} := {\bf x}-{\bf x}_d$と定義する。 もしある正数$\lambda$を設計したうえで、状態フィードバック $$u = -\hat f({\bf x}) + \ddot x_d - \lambda \dot{\tilde{x}}$$ を生成すると、閉ループ系は $$\ddot{\tilde{x}} = - \lambda \dot{\tilde{x}}$$ と計算でき、$\dot{\tilde{x}}\rightarrow 0$すなわち${\bf x}\rightarrow{\bf x}_d$を満たす。 ただし、この結果が成り立つのは、$f$が不確かさを含まない (すなわち$\hat f=f$が成り立つ) ときであり、推定値が真値と一致しない場合はこの限りでない。 ...