Posts

LQG/LTR (Linear Quadratic Gaussian / Loop Transfer Recovery) とは LQGとは、カルマンフィルタを用いて推定した状態に対して、最適レギュレータを用いて状態フィードバックをおこなう、よく知られた制御法です。 LQGが時間領域での制御器設計であるのに対して、周波数領域での設計も考慮するのが、LQG/LTRです。 今回はStein G and Micheal A. The LQG/LTR procedure for multivariable feedback control designを参考にしました。 問題設定 今、制御対象が伝達関数行列$G(s)$としてモデリングされているとします。 ここで、制御対象は非最小位相系であり、同数の入出力をもつとします。 我々の目標は制御対象の出力$y$と参照入力$r$との偏差$e:=r-y$を受け取り、制御入力$u$を生成する制御器$K(s)$を実装することです。 ここで、制御器$K(s)$は以下の要求を満たすことを求められます。 安定化：$G(s)$を安定化する（有界な外乱$d$、参照入力$r$に対して、$y$が有界となる） 良い制御性能：$e$をできるだけ小さくする ロバスト安定化：$G_A(s)$を安定化する（後述） 1だけを達成するための方法はたくさんあるので、本記事では触れません。 2を達成するためには、外乱$d$や参照入力$r$が大きな値を持つ周波数領域で、感度関数 $$ S(s) = (I+G(s)K(s))^{-1} $$ を小さくすることが求められます。 ここでいう"小さい"とは、伝達関数の最大特異値$\sigma_{max}(S(j\omega))$が小さいという意味です。 3について説明します。 一般に、制御対象を完全にモデリングするのは不可能であり、何らかの不確かさを含むと考えるのが自然です。 これは例えば、真のモデルを$G_A(s)$とすると $$ G_A(s) = (I+L(s))G(s) $$ と表すことができます。 ここで、$L(s)$は乗法的不確かさを表す伝達関数行列であり、既知の$m(\omega)$と任意の$\omega$に対して $$ \sigma_{max}(L(j\omega)) < m(\omega) $$ なる関係が成り立つとします。 ここで、簡単な計算から、相補感度関数 $$ T(s) = G(s)K(s)(I+G(s)K(s))^{-1} $$ が任意の$\omega$に対して $$ \sigma_{max}(T(j\omega)) \le \frac{1}{m(\omega)} $$ を満たすことが、$G_A(s)$の安定性の必要十分条件として導出できます。 ...

得られたもの ボストンキャリアフォーラム（以下BCF）に参加してきました。 自分は17年度卒なので、就活には少し早いのですが、今年は経団連の指示で採用活動が早まるのと、帰ってから就活に時間を奪われるのが嫌で、あらかじめ選考を進められたらという思いもあっての参加です。 結論から言うと、やはり経団連のパワーのせいか「内定」とはっきりと言ってくれる会社はありませんでした。 しかしながら、ESを提出したのはおよそ10社のうち、4社から「合格」とメールで通知後、内定者の方々が参加するディナーへのお誘いをいただくことができました。 中には「いつまでなら返事をしてくれるか」とオワハラっぽいことをしてきた企業もありました。 今振り返ると、調子のいい言葉や美味しいご飯を使って、学生を確保しておきたい企業の意図を感じないでもないのですが、そのあたりは性善説で解釈したいと思います。 また、およそ1か月前から少しずつ準備をする中で、基本的な自己分析や業界研究を大分進めることができました。 おかげで帰国後の就活がスムーズに進みそうなのは、嬉しい副作用です。 雑感 実は今回が初のアメリカ訪問でした。 初めてヨーロッパに来た時は、町並みなど日本と全く違うことに衝撃を受けたものですが、今回あまり驚きがなかったのは、旅に慣れてきてしまったせいかもしれません。 ボストンは古い都市だと聞きますが、欧州の都市と比べると、むしろ日本の近代的な町並みに近いものを感じました。 また、BCF中に主にアメリカの大学で勉強している人たちと出会う機会があり、印象に残りました。 高校までインターナショナルスクールに通った後、正規留学してきた方や、僕と同じ制御系の研究をしている方で、修士課程を飛び級して博士課程に在籍している方など、日本にいたらまず出会えないような人たちとお話しすることができました。 すぐに人の影響を受ける僕は、どうして海外の大学に進学しなかったんだろうと少し後悔してしまいました。 さらに、空いた日には、MITやハーバード大学、ボストン美術館などを訪れることができ、全体として満足できる休暇になりました。 来年参加する方にアドバイス 奨学金の申請について 競争率は高そうです。 早い者勝ちなところがあるそうなので、申請開始日にちゃっちゃとしちゃいましょう。 また、以前別のキャリアフォーラムで受給している人には、支給されないようになっているそうなので、アカウントを作り直すなどの対策を打つといいかもしれません。 僕は申請が遅れたうえ、前回のロンドンキャリアフォーラムで受給していたのもあり、当然今回は受給できませんでした。 ホテルについて ネットで検索すると、ホテルは高いので早めに予約と書いてあるのですが、Airbnbなどを用いれば直前でも一泊4000円弱で予約できました。 予算を抑えたい方にはオススメです。

概要 前回はいわゆるフィードフォワードの最適制御について考えた。 すなわち、ある初期時刻$t_0$と初期状態$x(t_0)$が一つ与えられたときに、終端時刻$t_f$までに加える最適入力$u(t)$を求めようとした。 そして、最適な$u(t)$を求めるためには、オイラー・ラグランジュ方程式という微分方程式を解かなくてはならないことが示された。 このアプローチでは、初期状態$x(t_0)$が少しでも変化すると、オイラー・ラグランジュ方程式を新たに解き直す必要があり、とても時間が掛かる。 そこでここからは、フィードバックの最適制御について考える。 すなわち、任意の時刻$t$と状態$x(t)$が与えられたときに、終端時刻までに加える最適制御$u(x,t)$を求めたいのである。 問題 連続時間の非線形ダイナミクス $$\dot x = f(x,u,t)$$ にしたがうシステムに対して、状態フィードバック$u=u(x,t)$を設計することで、評価関数 $$J = \phi(x(t_f),t_f) + \int_{t}^{t_f}L(x(\tau),u(\tau),t)d\tau$$ を最小化したい。 ここで初期値$x,t$は任意であるとする。 必要条件 $J$を最小化する$u$が満たすべき方程式としてハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式 (HJB equation : Hamilton-Jacobi-Belman equation)が知られている。 これはハミルトニアン $$ H(x,\lambda,u,t):=L(x,u,t)+\lambda^t_f f(x,u,t) $$ 及び値関数 $$ J^o(x,t) = \min_u J $$ に対して $$ \frac{\partial J^o}{\partial t} + \min_u H\left(x,\frac{\partial J^o}{\partial x},u,t \right) = 0 $$ として記述される。 この偏微分方程式の境界条件は $$ J^o(x(t_f),t_f) = \phi(x(t_f),t_f) $$ である。 導出 値関数$J^o$は、「時刻$t$と、その時点で与えられたシステムの状態$x$に対して、その時刻以降$t_f$までに最適な入力を加えることにより最小化されたときのコスト」を表す。 ベルマンの最適性の原理により微小時刻$\Delta t$に対して $$ J^o(x(t),t) = \min_u\left\{ J^o(x(t+\Delta t), t+\Delta t) + \int_t^{t+\Delta t} L(x(\tau),u(\tau),\tau)d\tau \right\} $$ が成り立つ。 この式が意味するところは、「時刻$t$から$t_f$までに最適な入力を求める」のと、「時刻$t+\Delta t$から$t_f$までに最適な入力がすでに求まっているときに、時刻$t$から$t+\Delta t$までの最適な入力を求める」のは一緒、ということ。 $J^o(x(t+\Delta t),t+\Delta t)$をテーラー展開すると $$ J^o(x(t+\Delta t),t+\Delta t) = J^o(x(t),t) + \left\{ \frac{\partial J^o}{\partial x}f(x,u,t) + \frac{\partial J^o}{\partial t} \right\}\Delta t + O(\Delta t^2) $$ これを代入すると $$ J^o(x(t),t) = \min_u\left\{ J^o(x(t),t) + \left\{ \frac{\partial J^o}{\partial x}f(x,u,t) + \frac{\partial J^o}{\partial t} \right\}\Delta t + \int_t^{t+\Delta t} L(x(\tau),u(\tau),\tau)d\tau + O(\Delta t^2) \right\} $$ $J^o$及び$\frac{\partial J^o}{\partial t}$は$u$に陽に依存しないため、括り出して$\Delta t\rightarrow 0$とすると $$ \frac{\partial J^o}{\partial t} + \min_u\left\{ L(x,u,t) + \frac{\partial J^o}{\partial x}f(x,u,t) \right\} $$ が得られる。 残りはハミルトニアン及びラグランジュ乗数の定義を用いて終了。 ...

概要 今回からダイナミクスを持つシステムへの最適制御を考える。 考え方は前回の場合とそれほど変わらず、ダイナミクスを制約条件として考えると、必要条件として、二点の境界条件をもつ微分方程式が導出される。 今回はその導出と、問題を解くための数値計算法を紹介する。 教科書は引き続きE. Brysdn, Jr. Yu-Chi Ho, “Applied Optimal Control”, CRC Press, 1975を用いる。 離散時間システムの場合 問題 非線形の差分方程式で表されるつぎのシステムを考える。 $$ x(i+1) = f(x(i),u(i)), \quad x(0):\text{given}, \quad i = 0,\cdots,N-1. \tag{2.2.1} $$ ただし、$x(i)\in R^n$は状態ベクトル、$u(i)\in R^m$は入力ベクトルである。 以下の評価関数 $$J = \phi(x(N)) + \sum_{i=0}^{N-1}L(x(i),u(i))$$ を最小化する$u$を求めたい。 必要条件の導出 $(2.2.1)$は等式制約条件として捉えられる。 そのため、ラグランジュ乗数$\lambda(i)$を用いて $$\bar J := \phi(x(N)) + \sum_{i=0}^{N-1}\left[ L(x(i),u(i)) + \lambda^T(i+1){f(x(i),u(i)) - x(i+1)} \right] \tag{2.2.3}$$ を考える。 ハミルトニアン $$H^i := L(x(i),u(i)) + \lambda^T(i+1)f(x(i),u(i))$$ を定義すると、$(2.2.3)$は $$\bar J = \phi(x(N)) -\lambda^T(N)x(N) + \sum_{i=1}^{N-1}\left[ H^i - \lambda^T(i)x(i) \right] +H^0$$ と書き換えられる。 ...

kivyとは PythonのNUI(Natural User Interface)でのマルチタッチアプリケーション開発のためのオープンソースライブラリ。 一つのソースコードからAndroid、iOS、Linux、MacOSX、Windowsへと出力できるうえ、ライセンスフリーで使用できる。 今回はそんなkivyの本体と、OSX及びiOSへのパッケージング環境の導入に挑戦したが、情報が少なく結構苦労したので、メモしておく。 自分の環境 MacOSX 10.11 Yosemite Xcode 7.1 homebrew, pip導入済み kivyのインストール この辺を参考にしてインストールした。 まず、kivyの導入に必要なcythonとpygameをインストールする。 *11月3日23:25追記：下記のkivy-iosと最新のcythonの相性が悪いため、バージョン0.21をインストールする必要があることがわかった。 pip install cython==0.21 pip install pygame その後本体をインストールするのだが、最も好ましいと思われるpipを用いた方法はうまくいかず。 仕方ないので、brew caskを用いてインストール。 brew cask install kivy もしくはgitから直接 git clone http://github.com/kivy/kivy make でも良い。 上手くインストールされたか確かめるため、Hello Worldしてみよう。 適当なエディタでmain.pyを作成し import kivy kivy.require('1.8.0') ## replace with your current kivy version ! from kivy.app import App from kivy.uix.label import Label class MyApp(App): def build(self): return Label(text='Hello world') if __name__ == '__main__': MyApp().run() と記述。 その後作業ディレクトリで ...

概要 非線形最適制御の勉強を始めた。 実は去年授業で単位は取得したのだけれど、ほとんど覚えていないも同然なので、はじめからやり直すことにする。 教科書はE. Brysdn, Jr. Yu-Chi Ho, “Applied Optimal Control”, CRC Press, 1975を用いた。 式番号は教科書に倣った。 今回はとりあえず、ダイナミクスなしの最適化問題について、ざっと復習する。 制約なし最小化問題 問題 決定変数$u=[u_1 \ \cdots \ u_m]^T\in R^m$を決めることで、評価関数 $$L(u):R^m\rightarrow R$$ を最小化したい。 必要条件 $L$が$C^2$級の関数であるとき、$u$が最小値であるのための必要条件は $$\frac{\partial L}{\partial u} = 0 \tag{1.1.3}$$ 及び $$\frac{\partial^2 L}{\partial u^2} \succeq 0$$ が成り立つことである。 $(1.1.3)$を満たす$u$を停留点という。 十分条件 $u$が局所最小であるための十分条件は$(1.1.3)$及び $$\frac{\partial^2 L}{\partial u^2} \succ 0$$ が成り立つことである。 数値計算法 勾配法 (gradient decent) 、ニュートン法 (newton method) を始め、様々な数値計算法が用いられる。 等式制約付き最小化問題 問題 決定変数$u\in R^m$を決めることで等式制約 $$ f(x,u)=0 \tag{1.2.2} $$ のもと、評価関数 $$L(x,u): R^n\times R^m\rightarrow R$$ を最小化したい。ここで$x=[x_1 \ \cdots \ x_n]^T\in R^n, \ f=[f_1 \ \cdots \ f_n]^T:R^n\times R^m\rightarrow R^n$とおいた。 ...

自分には昔から何事においても、与えられた目標に対して最小限の努力でアプローチしようとする悪い癖がある。 この癖は多分、中高の陸上部時代に、きつい練習の中で少しずつ形成されはじめ、いつの間にか凝固してしまったものなんだと思う。 今まではそれでも誤魔化しながらなんとかやってきたのだけれど、今後大きなしっぺ返しを食らう予感もしていて、どうにか直したいと思っている。 そしてそのために「血反吐を吐くような努力をもってして、なお目標を達成できない」という経験は、失敗できる学生時代のうちに必要な経験だと感じていた（自分で書いていてマゾいと思う）。 けれども、そういう努力を要求される環境を積極的に自分で整えるほど、自分はマゾにはなれない。 そこで今回の海外生活に、そういう環境を期待していたのである。 さて、実際に飛び込んでみて、気づいたこと。 まず、これまでの自分の人生の側には、その都度適切な高さのハードルを置いてくれる先生のような役割の人がいて、その人たちのおかげで、今少し高いハードルを前にしても「これまでのように跳べば大丈夫」と思える自信がついてきている。 というのも、こっちに来てから毎日が、言語や文化の違いで戸惑うことばかりだけれど、それら一つ一つは今まで跳んできたハードルに比べれば、多分そんなに高くない。 悲観主義だと思っていた自分の性格が、経験のおかげで楽観主義に寄ってきていることに気づいた。 また、僕が海外生活に期待していたのは、今まで見たこともない巨大なハードルを次々に置かれるような過酷な環境だった。 けれども、現実は期待とは裏腹に、むしろそんなもの誰も置いてくれなかった。 インターンを始めた頃、簡単に感じられる課題と、何をしても褒めてくれる上司を前に、誇らしい気持ちになった。 けれどもすぐに、目標が誰かに与えられるだけの期間が終わり、自分で置いたハードルを自分で跳ぶことが要求されはじめていることに気づいた。 自分でハードルを置くというのは、自分が今できないことと向かい合うことと同義であり、実際やってみると結構きつい。 向かう方向や速度は正しいのか判断する、舵取りとしての技量も必要になり、そこに正解はない。 しかしやはり気持ちはポジティブだ。 きっとこの先、この舵取りとしての技量がもっと求められるようになってくるだろうし、そうなってほしいという期待がある。 まとめると、自分はこれまでまあまあ上手くやってきたし、これからもまだまだ未熟だという、ありきたりな結論に至る。 海外生活も残り5ヶ月。 学んで、考えて、身につけて帰ろう。

概要 制御対象のパラメータを同定しながら制御する制御法。 通常の制御法と違い、制御則の他に、適応則というのを設計する。 今回は、モデル規範型適応制御 (MRAC : Model Refference Adaptive Control) と呼ばれる手法を紹介する。 詳しくはJ. E. Slotine, W. Li, “Applied Nonlinear Control”, 1991を参照。 問題 次のシステムを制御したいとする。 $$a_ny^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots +a_0y = u$$ ここで、状態$y,\dot y\cdots,y^{(n-1)}$は可測であるが、係数${\bf a} = [a_n \ \cdots \ a_1 \ a_0]^T$は未知であるとする。つまり、このシステムは、一次系、二次系などの構造はわかっているけれど、パラメータに不確かさを含むシステムである。ここで、$a_n$の符号のみは既知とする。 我々の制御目的は、$y$を望ましい参照モデルの応答 $$\alpha_ny_m^{(n)} + \alpha_{n-1}y_m^{(n-1)} + \cdots +\alpha_0y_m = r$$ に追従させることである。 制御則の選択 $z$を以下で定義する。 $$z := y_m^{(n)} - \beta_{n-1}e^{(n-1)} - \cdots - \beta_0e$$ ここで、$\beta_1, \cdots, \beta_n$は、多項式$s^n+\beta_{n-1}s^{n-1} + \cdots + \beta_0$がフルビッツになるよう選ばれた、設計パラメータである。 また、$e:=y-y_m$は追従誤差である。 ...

対象システムが構造的不確かさをもつ場合に有効なロバスト制御法。 今回はSISOシステムのみ取り上げるが、MIMOにも拡張可能。 詳しくはJ. E. Slotine, W. Li, “Applied Nonlinear Control”, 1991を参照。 仮定 次のシステムを制御したいとする。 $$x^{(n)} = f({\bf x}) + b({\bf x})u$$ ここで、${\bf x}=[x \ \dot x \cdots x^{(n-1)}]^T$は状態ベクトル, $u$はスカラーの入力である。 また、$f$は不確かさを含む関数であるとする。 具体的には、我々は推定値$\hat f$のみを知ることができるものとし、これらの関数はある既知の関数$F({\bf x})$に対して $$\left|\hat f-f\right|\le F$$ を満たすとする。$b$もまた $$0 < b_{min} \le b \le b_{max}$$ の不確かさを持つとし、我々が知ることのできる値は推定値 $$\hat b = (b_{min} b_{max})^{1/2}$$ のみであるとする。 問題 ${\bf x}$を望ましい状態${\bf x}_d=[x_d \ \dot x_d \cdots x^{(n-1)}_d]$に追従させる$u$を設計せよ。 ただし、望ましい状態${\bf x}_d$は${\bf x}_d(0) = {\bf x}(0)$を満たすとする (テクニカルな仮定。ここでは説明しない) 。 導出 まずは簡単なシステムで 簡単のため$b$についての不確かさを一旦無視して$b({\bf x}) = 1$とし、対象システムは簡単な二次系 $$\ddot x = f({\bf x}) + u$$ であるとする。 また、これ以後、$\tilde{\bf x} := {\bf x}-{\bf x}_d$と定義する。 もしある正数$\lambda$を設計したうえで、状態フィードバック $$u = -\hat f({\bf x}) + \ddot x_d - \lambda \dot{\tilde{x}}$$ を生成すると、閉ループ系は $$\ddot{\tilde{x}} = - \lambda \dot{\tilde{x}}$$ と計算でき、$\dot{\tilde{x}}\rightarrow 0$すなわち${\bf x}\rightarrow{\bf x}_d$を満たす。 ただし、この結果が成り立つのは、$f$が不確かさを含まない (すなわち$\hat f=f$が成り立つ) ときであり、推定値が真値と一致しない場合はこの限りでない。 ...

ヨーロッパに来て半年になるので、つらつらと思うことを書き残しておく。 #研修内容について 今年度は、ヴルカヌス・プログラムという奨学金付きのインターンシッププログラムに参加しており、ベルギーにあるシーメンスのソフトウェア部門で航空機の制御に関わる仕事をしている。 航空機への制御を学ぶためには、航空機自体がどのような動特性を持っているかを知らなければならないが、僕にはその知識が全くなかったため、研修は航空力学を勉強することから始まった。 物理の知識がラグランジュ方程式くらいで止まっている僕にとって、航空力学の理論は難しく感じられ、これまでのところとてもじゃないが全てを理解したとは言いがたい。 先日edXでMITxから提供されている、Introduction to Aerodynamicsという講義を見つけたので、是非受講しようと思っている。 話がそれるが、最近こういったオンラインの講義を受講するのにハマっており、先日は機械学習の講義を受け終えた。 各講義のクオリティはとても高く、この先大学のもつ教育機関としての側面は、こうしたサービスの登場により変わっていくんじゃないかと思う。 それはさておき、まだ航空機についての知識は足りていないものの、最近はようやく制御シミュレーションに取り掛かり始めている。 当然だが制御工学は自分の専門であるので、以前にもまして興味をもって取り組むことができている。 僕がこれまで学び、実装したことのある制御法は、その殆どが基礎的な線形制御法に過ぎなかったため (僕の研究内容は解析がメインだったと言い訳をしておく) 、モデル追従制御や入出力線形化など、今まで詳しく知らなかった制御理論を学べたのは嬉しい誤算だった。 制御理論を航空機にどう実装するかについても、上司からいろいろと面白い話を聞けた。 例えば、高度や速度などの飛行状態によって動特性が変わる航空機では、平衡点も変わるため、制御のための線形化はその都度おこなう必要がある。 しかしながら、線形化のためには平衡点を求めなくてはならず、計算には時間がかかる。 このため、いくつかの航空機では、予め数百もの状態の組み合わせに対する線形化モデル、またはモデルに対する制御器のパラメータを計算して、メモリに格納しておき、それを呼び出し、補完しながら制御するのだそうだ。 実はゲインスケジュール制御は航空分野から生まれた制御法であるらしく、こうした背景があったことを考えれば納得できる。 #ベルギーについて ここルーヴェンは、ベルギーで一番大きな大学街として知られる町だ。 にもかかわらず、深夜に開いているコンビニなどはなく、日曜はどこのお店も開いてない。 そのため、日本で暮らす感覚でいると、休みの日に食べるものがなくて詰む。 アイルランドでも同様の傾向は見られたが、向こうでは首都ダブリンに滞在していたためか、中心部は日曜も賑わっており、あまり不便しなかった。 はじめは暮らしにくい町だと感じたものだが、順応してきた今では、むしろ働く側に優しい仕組みなのかもしれないと思うに至っている。 実際、僕が働く会社では、仕事はどんなに遅くとも19:00で切り上げられるし、人々は日曜にピクニックやスポーツを思う存分楽しんでいるように見える。 不便さを受け入れることで享受できる暮らしのゆとりと、際限なく働くことで経済を循環させる資本主義の宿命。 世の中にはこうしたトレードオフが無数にあることに気づく。 ところで、シーメンスでは様々な国から来た人が働いており、僕のようなアジア人も少なからず見かける。 観測範囲ではイタリア人が最も多く、オランダ人、フランス人、中国人、インド人、日本人や韓国人、と続く。 ドイツ人を見かけないのは、おそらくだが、ドイツ人の労働環境はこちらより優れているのでわざわざ他国に出向く必要はないという理由によるのだろう。 彼らは皆、自国の人と話すときは自国語で、他国の人と話すときは英語でコミュニケーションをする。 語学学校の時と違い、彼らが全く言葉に詰まることなく、母国語のように英語を話す様には、はじめ驚いた。 また、町を歩いてみても、アジア人を多く見かけるし、僕のアパートには大学に通うためにスロベニアからやってきた学生が住んでいる。 周囲を他国に囲まれている地理的要因、EUの本部を首都に抱える政治的要因などが、こうした国際的な環境の形成を助けたのだろうか。 #今後について 正直、4月からここまであっという間だった。 良くも悪くも研究室とは違い、具体的な目標が課せられない毎日であり、自分で明確な目標をもつ必要性を日々感じている。 残り半年、無為に過ごして後悔の残らないよう、自戒しつつ過ごしていきたい。