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先日無事日本に帰国しました。 帰国の前日にベルギーの空港でテロがあり、帰国便がキャンセルになってしまいましたが、不幸中の幸いというべきか、パリからの便に空きがあったため、フライトを変更してもらい、無事に帰国することができました。 一昨日に復学の手続きを終え、さっそく残る一年の修士課程に取り組み始めています。 研究活動に加え、就職活動も並行しておこなっているため、しばらくはまた忙しくなりそうです。 元同期がつぎつぎと社会に羽ばたいていく中、アラサーとなった自分が未だ大学に残っている事実に少し焦りを感じなくもありませんが、あまり深刻に捉えず、今年も自分らしい道を歩んでいきたいと思います。

前回の記事では、ベルギーでの企業研修を終えたこと、今後は日本企業に就職していずれは社会人博士を目指したいことをお話ししました。 しかしながら、企業研修を終える間際、上司に以下のことを言われたのです。 「もし君が望むなら、卒業後うちに来てPhDやらないか」 青天の霹靂とはこのことです。 前回お話しした通り、僕の部署では、大学と会社の両方に籍をおき、それぞれから奨学金と給料をもらいながら、PhDの取得を目指している方が何人もおられます。 提携先の大学は、地元のKU Leuvenであったり、イギリスのBristol Universityであったりと様々です。 うちの部署の上司は、そうした産学連携研究のパートナーを見つけるのが得意だそうで、僕が望めばどこかしらの大学の研究室に在籍させてもらい、さらに生活に必要な奨学金も整えてくれるとおっしゃってくれました。 この提案は、僕にとってこれ以上ないくらい魅力的なものです。 なぜならば、前回書いた、博士課程へ進学することのデメリット 最低3年をかけて学ぶ時間的リスクに対して、将来得られるリターンが少ない。 学費を支払う金銭的余裕がない。 研究自体を目的化したくない。 のうち、少なくとも2と3が解決しそうに思われるからです。 2は、会社からの給料と大学の奨学金によって解決しそうです。 それだけなく、日本には民間機関で海外博士に挑戦する人に奨学金を支給する団体が幾つかあり、それらを組み合わせれば、自活どころか、両親への資金援助も可能かもしれません。 さらに、こちらのサイトに記載されている通り、ヨーロッパの大学の授業料は日本と比べて安値な傾向にあるようです。 3は、単純にこの8か月の研修内容を考えると、大学での研究より応用的な研究ができそうだという予感に起因します。 「航空機を制御する」という明確な問題ありきの研究においては、方針も自ずと明確になり、研究のための研究という事態は避けられそうです。 となると、残るは1です。 ここでは「リスク」と「リターン」をどう捉えるかが問題であり、その点でとても悩んでいます。 まず、リターンですが 将来博士の学位を持つことは研究者として自分のキャリアアップになる 海外での正規の労働経験は、グローバルな人材としてのキャリアにつながる 単純に日本での博士取得に比べ金銭的費用が少なくて済む などがあると思います。 次に、リスクについてですが ヨーロッパでの博士取得は4年。自分の場合30歳で博士を取得することになる 30歳になって日本に帰国して、年功序列の社会が自分のキャリアを評価してくれるか不明 4年を海外で過ごすことで感じる孤独感、漠然とした不安 婚期を逃しそう などでしょうか。 特に4つめは瑣末に思われるかもしれませんが、僕には重要です。 なぜならば海外生活で得た一つの帰結として、自分は日本人と結婚したいというものがあるからです。 ここベルギーに住む日本人女性の数は多くなく、その中から結婚相手を探すことは難しそうです。 となると30歳になって帰国し婚活するしかないのでしょうが、おっさんになった自分と相思相愛の関係になる女性に出会える保証はどこにもありません。 またこれは3つめにも繋がるのですが、大切な人に支えてもらわないと、海外生活を乗り切れる自信がありません（甘いことを言っている自覚はあります）。 2つめについてですが、そもそも日本に帰国するのか、という問題があります。 一般に、日本の労働環境はお世辞にも良いとはいえず、文化の壁を克服し、現地に順応さえできれば、将来的にも欧州で生活していくことも、一つのプランとして考えられそうです（これも結婚相手を見つけられた場合）。 また、こちらでは年功序列の文化がほとんどないので、博士習得にかかる時間的リスクも自ずと減ります。 さて、長々と書き綴りましたが、結局どうするかはまだ決まっていません。 幸い上司には、修士を終える数ヶ月前に連絡をするよう言われており、悩むにはまだ時間がありそうです（ただし、日本の民間奨学金の締め切りが8月に来るので、こちらがボトルネックになりそう）。 それまで、日本での就活を通じて、研究職としてのキャリアを探りながら、いずれ決断したいと思います。

昨年の8月から、ベルギーのSiemens Industry Software NVという会社でインターン生として働いていたのですが、今日が研修最終日でした。 最終プレゼンも無事に終わり、いよいよ一年間の海外生活も幕を閉じつつあります。 一年間を通じて、英語を用いた交流経験、エンジニアとしての労働経験、異文化の体験など、日本では決して得られなかった経験ができて、本当によかったと思います。 以下では、得られたこと、これからのことを簡単にまとめたいと思います。 はじめ4か月のアイルランドでの語学研修は、文字通り初めての海外生活でした。 それまで英語で人と会話することがほとんどなかったこともあり、はじめは戸惑い、まともに挨拶もできない状態でした。 しかしながら、時が経つにつれ、これまで学校で学んできた文法や単語の知識が、会話においても十分役立つことがわかり、少なくとも英語での交流を恐れる気持ちは払拭出来ました。 語学学校での授業は、語学力を底上げする大きな助けになりました。 特に、会話における表現とその使いどころについての知識は、その後の企業研修でも大いに役立ちました。 ある程度滞り無く会話ができるようになってからは、各国から来た留学生と、授業後にカフェやレストランに行き、それぞれの国の文化や産業、宗教などについて話すようになりました。 会話の中で驚いたのが、日本という国が、とりわけ産業面において世界に大きな影響を与えており、そのことが広く認知されていたことです。 たとえば、滞在中出会ったほとんどの人が、日本の車や電機メーカーのことを知っていましたし、私が日本で工学を勉強していると話すと、皆口を揃えて、将来はお金持ちになるんだねと言いました。 また、日本が他国と比べてどのような特徴をもっているか、客観視することができたのも、有意義な経験でした。 我が国の外国人比率はおよそ2%であり、世界の中でもとても低い順位です。 互いに文化や宗教の異なる人々がともに摩擦なく過ごしていくには、互いを理解し尊重しようとする努力が欠かせないことを知りました。 つぎに、8月からの企業研修では、航空機の制御シミュレーションに関わるR&Dをおこないました。 私の専門は制御工学であるため、制御に関することはある程度知っていたのですが、航空機そのものについてはほとんど何も知らなかったため、企業研修は、航空力学を一から勉強することから始まりました。 参考文献を読むにあたっては、同じオフィスで働く航空力学を専攻するPh.Dの学生の方達に大いに助けていただきました。 休憩時間などには、研究者として少し先のキャリアを歩む彼らに、進路の相談にも乗ってもらうこともありました。 分厚い教科書や参考文献を一ヶ月近くかけて読み終えた私は、つぎに制御シミュレーションに取り掛かりました。 そこで「航空機のモデルの作成」「制御目標の設定」「制御器の設計」「シミュレーション」というモデルベースドデザインの基本となる一連の過程を経験することができました。 この段階においても、私がすでに持っていた制御についての知識以上のものを習得する機会が多々あり、技術を企業ではどのように展開していくのかということも間近で拝見することができました。 研修期間は、ベルギーと日本の働き方の違いを実感し続けた8か月間でもありました。 ベルギーにおけるライフワークバランスはとりわけ優れていると感じます。 私のオフィスでは、残業することは本人に時間内に業務を完遂するする能力がないことと同等とみなされており、社員は滅多に残業することはありません。 また、日曜にどのお店も空いてないのは、はじめ不便に感じましたが、国民が各々の生活を大事にする上では合理的な習慣であると理解しました。 私は将来研究者として働きたいと考えているため、会社を挙げてPh.Dの取得が奨励されていることも、魅力に映りました。 私のオフィスでは、会社と大学の両方から給料を受給しながら博士課程に取り組む社員が少なからずいました。 このような仕組みは、今後あらゆる産業に高度な付加価値や生産の効率化が求められる中、産学連携での研究を活発にする上で、有効な仕組みであると感じます。 日本の博士の称号は「足の裏の米粒」と言われ、技術者として働く上では通常重要視されないこと、取得においては安くない学費を払う必要があることと、対照的に思えました。 さて、帰国後の進路についてですが、正直とても悩んでいます。 本来は、「日本での就活を通じて研究職としての働ける企業を模索し、修了後は働きながらお金を貯め、いずれは社会人博士」といった道を考えていました（過去形である理由は後述）。 まず、ストレートに博士進学を目指さない理由は以下によるものです。 最低3年をかけて学ぶ時間的コストに対して、将来得られるリターンが少ないと感じる。 学費を支払う金銭的余裕がない。 研究自体を目的化したくない。 1について。 上でも触れた、欧州での博士重視の風潮は、裏返せば修士では研究職に就くのが難しいことを意味します。一方日本では、研究職として働く上で、修士卒であることのディスアドバンテージはそこまで大きくないのかな、と感じます。 また、就職すれば、働く中で研究職に対する自分の適性がよりはっきりし、キャリアを再考することもできそうなのに対し、博士に進学してしまったら、退路が立たれてしまいそうなことも、懸念事項です。 2について。 今でも学費と生活費の全てを貯金と奨学金で賄う自転車操業状態であり、これを後3年続けるのは、金銭的にのみならず、精神的に相当不健康です。 両親からは、大学入学以降早々に仕送りを打ち切られ、逆に早く働いて家に金を入れるよう日々プレッシャーをかけられており、援助なんてとても期待できません。 学振などの諸制度にパスできれば、この問題は解決できるかもしれませんが、やはり働いたほうが手っ取り早くお金を稼げます。 3について。 研究室では、研究のための研究がおこなわれていることがあります。 特に僕が取り組んでいた研究テーマは、学術的に面白くはあるのですが、実際社会で使えるかと聞かれれば、首を傾げざるをえません。 企業でおこなわれる、問題解決を目的とした実践的な研究のほうが、自分には合っているというのが、ベルギーでの企業研修で得られた教訓の一つです。 さて、このような理由で、先に述べた「就職後社会人博士」の像が徐々に形作られていたわけなのですが、この度の企業研修を終えた際に、上司からあるお話をいただきました。 それは、「うちでPh.Dをやらないか」というものです。 長くなってきたので、続きは次回。

大作と呼ばれる本作品、昨年末から積ん読していたのですが、この度の旅行のお供にした結果、ようやく読了に至る運びとなりました。 著者の主張は一貫して明らかで、「地球上の文明の進歩に差がついたのは、地理的・生態的な要因によるものだ」というものです。 例えば、「ユーラシア大陸がアメリカ大陸を侵略して、逆ではなかったのはなぜか」という問いに対する究極の答えは、「ユーラシア大陸の方が多様な動植物が住んでおり、かつ東西に長い形をしていたから」と述べられています。 順番としてはこうです。 ある土地に多様な動植物が分布しているとします。 すると、これら動植物を狩猟して、ヒトは増えることができます。 つぎに、ヒトはそれらの動植物を栽培・家畜化しようと考えます。 たくさんの動植物がいると、その中で栽培・家畜化可能な動植物が存在する確率は上がります。 栽培・家畜化が成功すると、人々の分業が進みます。 分業により人々の暇な時間が増えることで、さらなる栽培・家畜化のみならず、武器や移動手段などの発明が進みます。 ここで、文化や発明などは、南北方向より、東西方向に広がりやすいことが知られています。 東西方向の方が、気候や植生などの環境が似通っているからです。 大陸が東西に長いと、文化や発明の交流が活発に進みます。 逆に、南北方向に長いと、砂漠などの異なる気候がヒトの移動を阻み、交流が起きづらくなります。 ユーラシア大陸には多様な動植物が住んでおり、かつ東西に長い形をしていました。 南北アメリカ大陸はユーラシアほどの動植物が住んでおらず、大陸の形も南北に延びていました。 結果、ユーラシア大陸がアメリカ大陸を侵略する歴史になったわけです。 本書の主張はこのように単純明快で、概要は序章と終章を読むだけで事足ります。 では、間の全19章には何が書かれているのでしょうか。 著者は、上で述べたような問いをその都度立てて、それに対する答えを膨大なデータとともに考察しているのです。 例えば「同じユーラシア大陸の中で、ヨーロッパの国々と中国を比べたとき、ヨーロッパが先進国となり、逆にならなかったのはなぜか」などです。 回答は是非本書を読んでお確かめください。 全体を通して、歴史という一回性の出来事に対して、定量的な評価を行うことで、科学として扱おうとする、作者の歴史科学者としての信念が見て取れました。 個人的には、フォンノイマンが経済現象を数式を用いて定式化することで、ゲーム理論という新たな枠組みを提唱したことと似たものを感じました。 さて、これで積ん読は全て消化したため、つぎは何を読もうか、とても悩ましいです。

技術者として生きていく上で、複数の専門をもつというのは、重要な戦略になることを最近実感している。 例えば、僕の専門は制御工学であり、学部・大学院とともに、紙とペンを用いて理論寄りのテーマを研究してきた。 研究を通じて統計学や最適化、授業を通じて機械工学や電気・電子工学などを幅広く学んではきたが、それでも「専門」として答えられる分野は制御くらいしかない。 翻って今の上司を見てみると、航空工学と統計学のダブルディグリーで修士号を取得後、博士では航空機に対する状態推定と制御に関する研究をしている。 さらにソフトウェアの開発にも精通していて、趣味としてモバイルアプリの開発もおこなうという多才ぶりだ。 「ある分野で10人に1人の人材である人が、別の分野でも10人に1人の人材であるならば、両分野に関連する領域では100人に1人の逸材であることを意味する」という推論は、キャリアを考える上で重要な考え方のように思われる。 ここで大事なのは、やたら何にでも手を出すのではなく、相性のよい分野を選択しリソースを割くことだろう。 さもなくば、分野同士の共通領域がなくなってしまい、活躍できるフィールドも限られてしまうからだ。 また、あまりにありがちな組み合わせを選択するのも、よい戦略とは言えない。 なぜならば、上記の推論は、両分野に属する人材が独立に分布しているという仮定にもとづいているからだ。 例えば機械と電気は切っても切れない関係にあり、その両方を学ぶ人は多いだろう。 そのため、両分野それぞれで10人に1人の人材になれたとしても、それらをまたがる領域で100人に1人の人材になれるとは限らない。 互いに重複する分野のなかでも、少し意外性があるが実は相性がよい、そういった領域を選択するのがいい。 現代のものづくりの傾向を考えてみると、大規模で高度なシステムほど、コストやリスク削減のために、ソフトウェアによるモデルベースでの開発が重要になってきている。 このため、技術者志望の僕にとって、プログラミングやデータベース管理などに精通しておくことは、アドバンテージになるだろう。 しかしこれは意外でも何でもない。 中央大学の竹内先生が仰るとおり、これからの理系の研究者に必要なのは文系力であるということを鑑みれば、経営やマネジメントを学ぶのも意義深いだろう。 「専門」というテーマからは少し離れるが、語学は絶対に身につけたほうがいい。 世界的に技術者は不足しており、使える言語が増えるほど、働く領域が増えるのは言うまでもないからだ。 実際僕自身、ヨーロッパに来てからというもの、どうしてもっと早く英語を勉強して来なかったのかと毎日のように後悔している。 しかしながら、ポジティブに考えれば「日本語ができる技術者」というのは世界的にも稀だという見方ができ、これが現在僕が日本で働くことを希望する理由の一つになっている。 さて、ここ数日考えたことを適当に書き散らした。 いずれにせよ、終身雇用制度が崩れ、スキル無くして生き残るのは難しい今、リストラに怯えるような毎日を送らないためにも、自主的に勉強する習慣は常に身につけておきたい。

概要 インターン先で進捗をレポートにまとめるよう言われたので、この機会を利用して、Markdownで全部書いてみようと思い至りました。 Markdownはとても便利な記法ですが、引用や相互参照については少し手が届かないところがあります。 そこで今回、pandocとその拡張ツールであるpandoc-citeproc及びpandoc-cross-refを用いて、論文（っぽく見える文章）をMarkdownで書く環境を整えてみました。 あわよくば修論をこれで書きたい。 僕の環境 OS X El Capitan MacTeX 2015 cabalのインストール 今回使うツールであるpandocをインストールするために、cabalを導入します。 cabalとはHaskellのライブラリ管理ツールです（Pythonでいうpipみたいなもの）。 cabalはbrewからインストール可能です。 brew install cabal ついで cabal update で最新の状態にアップデートします。 またこのままでは、cabalで管理するパッケージをターミナルが認識できないので、パスを追加します。 .bash_profileに export PATH="/Users/user_name/.cabal/bin:$PATH" を追加します。 ちなみにホームディレクトリに.bash_profileがあるかは ls -la コマンドで確認できます。なかった場合は touch .bash_profile で作成してください。 pandocのインストール つぎに、今回の主役であるpandocをインストールします。 cabal install pandoc その後 which pandoc でパスが表示されれば成功です。 これでひとまず pandoc main.md -o main.pdf とすることでpdf出力できます。 pandoc-citeprocのインストール このままでもそれっぽいレポートが書けるのですが、参考文献に.bibファイルを使えるとさらに便利になるので、そのための環境を整えます。 cabal install pandoc-citeproc とタイプし、pandoc-citeprocという環境を用意します。 念のためここでもwhich pandoc-citeproc でパスを確認しときましょう。 pandoc-citeprocの使い方を説明します。 いつも使っている.bibファイルの名前を references.bib とします。 中身はよくある文献リストで、次のような感じだとします。 ...

LQG/LTR (Linear Quadratic Gaussian / Loop Transfer Recovery) とは LQGとは、カルマンフィルタを用いて推定した状態に対して、最適レギュレータを用いて状態フィードバックをおこなう、よく知られた制御法です。 LQGが時間領域での制御器設計であるのに対して、周波数領域での設計も考慮するのが、LQG/LTRです。 今回はStein G and Micheal A. The LQG/LTR procedure for multivariable feedback control designを参考にしました。 問題設定 今、制御対象が伝達関数行列$G(s)$としてモデリングされているとします。 ここで、制御対象は非最小位相系であり、同数の入出力をもつとします。 我々の目標は制御対象の出力$y$と参照入力$r$との偏差$e:=r-y$を受け取り、制御入力$u$を生成する制御器$K(s)$を実装することです。 ここで、制御器$K(s)$は以下の要求を満たすことを求められます。 安定化：$G(s)$を安定化する（有界な外乱$d$、参照入力$r$に対して、$y$が有界となる） 良い制御性能：$e$をできるだけ小さくする ロバスト安定化：$G_A(s)$を安定化する（後述） 1だけを達成するための方法はたくさんあるので、本記事では触れません。 2を達成するためには、外乱$d$や参照入力$r$が大きな値を持つ周波数領域で、感度関数 $$ S(s) = (I+G(s)K(s))^{-1} $$ を小さくすることが求められます。 ここでいう"小さい"とは、伝達関数の最大特異値$\sigma_{max}(S(j\omega))$が小さいという意味です。 3について説明します。 一般に、制御対象を完全にモデリングするのは不可能であり、何らかの不確かさを含むと考えるのが自然です。 これは例えば、真のモデルを$G_A(s)$とすると $$ G_A(s) = (I+L(s))G(s) $$ と表すことができます。 ここで、$L(s)$は乗法的不確かさを表す伝達関数行列であり、既知の$m(\omega)$と任意の$\omega$に対して $$ \sigma_{max}(L(j\omega)) < m(\omega) $$ なる関係が成り立つとします。 ここで、簡単な計算から、相補感度関数 $$ T(s) = G(s)K(s)(I+G(s)K(s))^{-1} $$ が任意の$\omega$に対して $$ \sigma_{max}(T(j\omega)) \le \frac{1}{m(\omega)} $$ を満たすことが、$G_A(s)$の安定性の必要十分条件として導出できます。 ...

得られたもの ボストンキャリアフォーラム（以下BCF）に参加してきました。 自分は17年度卒なので、就活には少し早いのですが、今年は経団連の指示で採用活動が早まるのと、帰ってから就活に時間を奪われるのが嫌で、あらかじめ選考を進められたらという思いもあっての参加です。 結論から言うと、やはり経団連のパワーのせいか「内定」とはっきりと言ってくれる会社はありませんでした。 しかしながら、ESを提出したのはおよそ10社のうち、4社から「合格」とメールで通知後、内定者の方々が参加するディナーへのお誘いをいただくことができました。 中には「いつまでなら返事をしてくれるか」とオワハラっぽいことをしてきた企業もありました。 今振り返ると、調子のいい言葉や美味しいご飯を使って、学生を確保しておきたい企業の意図を感じないでもないのですが、そのあたりは性善説で解釈したいと思います。 また、およそ1か月前から少しずつ準備をする中で、基本的な自己分析や業界研究を大分進めることができました。 おかげで帰国後の就活がスムーズに進みそうなのは、嬉しい副作用です。 雑感 実は今回が初のアメリカ訪問でした。 初めてヨーロッパに来た時は、町並みなど日本と全く違うことに衝撃を受けたものですが、今回あまり驚きがなかったのは、旅に慣れてきてしまったせいかもしれません。 ボストンは古い都市だと聞きますが、欧州の都市と比べると、むしろ日本の近代的な町並みに近いものを感じました。 また、BCF中に主にアメリカの大学で勉強している人たちと出会う機会があり、印象に残りました。 高校までインターナショナルスクールに通った後、正規留学してきた方や、僕と同じ制御系の研究をしている方で、修士課程を飛び級して博士課程に在籍している方など、日本にいたらまず出会えないような人たちとお話しすることができました。 すぐに人の影響を受ける僕は、どうして海外の大学に進学しなかったんだろうと少し後悔してしまいました。 さらに、空いた日には、MITやハーバード大学、ボストン美術館などを訪れることができ、全体として満足できる休暇になりました。 来年参加する方にアドバイス 奨学金の申請について 競争率は高そうです。 早い者勝ちなところがあるそうなので、申請開始日にちゃっちゃとしちゃいましょう。 また、以前別のキャリアフォーラムで受給している人には、支給されないようになっているそうなので、アカウントを作り直すなどの対策を打つといいかもしれません。 僕は申請が遅れたうえ、前回のロンドンキャリアフォーラムで受給していたのもあり、当然今回は受給できませんでした。 ホテルについて ネットで検索すると、ホテルは高いので早めに予約と書いてあるのですが、Airbnbなどを用いれば直前でも一泊4000円弱で予約できました。 予算を抑えたい方にはオススメです。

概要 前回はいわゆるフィードフォワードの最適制御について考えた。 すなわち、ある初期時刻$t_0$と初期状態$x(t_0)$が一つ与えられたときに、終端時刻$t_f$までに加える最適入力$u(t)$を求めようとした。 そして、最適な$u(t)$を求めるためには、オイラー・ラグランジュ方程式という微分方程式を解かなくてはならないことが示された。 このアプローチでは、初期状態$x(t_0)$が少しでも変化すると、オイラー・ラグランジュ方程式を新たに解き直す必要があり、とても時間が掛かる。 そこでここからは、フィードバックの最適制御について考える。 すなわち、任意の時刻$t$と状態$x(t)$が与えられたときに、終端時刻までに加える最適制御$u(x,t)$を求めたいのである。 問題 連続時間の非線形ダイナミクス $$\dot x = f(x,u,t)$$ にしたがうシステムに対して、状態フィードバック$u=u(x,t)$を設計することで、評価関数 $$J = \phi(x(t_f),t_f) + \int_{t}^{t_f}L(x(\tau),u(\tau),t)d\tau$$ を最小化したい。 ここで初期値$x,t$は任意であるとする。 必要条件 $J$を最小化する$u$が満たすべき方程式としてハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式 (HJB equation : Hamilton-Jacobi-Belman equation)が知られている。 これはハミルトニアン $$ H(x,\lambda,u,t):=L(x,u,t)+\lambda^t_f f(x,u,t) $$ 及び値関数 $$ J^o(x,t) = \min_u J $$ に対して $$ \frac{\partial J^o}{\partial t} + \min_u H\left(x,\frac{\partial J^o}{\partial x},u,t \right) = 0 $$ として記述される。 この偏微分方程式の境界条件は $$ J^o(x(t_f),t_f) = \phi(x(t_f),t_f) $$ である。 導出 値関数$J^o$は、「時刻$t$と、その時点で与えられたシステムの状態$x$に対して、その時刻以降$t_f$までに最適な入力を加えることにより最小化されたときのコスト」を表す。 ベルマンの最適性の原理により微小時刻$\Delta t$に対して $$ J^o(x(t),t) = \min_u\left\{ J^o(x(t+\Delta t), t+\Delta t) + \int_t^{t+\Delta t} L(x(\tau),u(\tau),\tau)d\tau \right\} $$ が成り立つ。 この式が意味するところは、「時刻$t$から$t_f$までに最適な入力を求める」のと、「時刻$t+\Delta t$から$t_f$までに最適な入力がすでに求まっているときに、時刻$t$から$t+\Delta t$までの最適な入力を求める」のは一緒、ということ。 $J^o(x(t+\Delta t),t+\Delta t)$をテーラー展開すると $$ J^o(x(t+\Delta t),t+\Delta t) = J^o(x(t),t) + \left\{ \frac{\partial J^o}{\partial x}f(x,u,t) + \frac{\partial J^o}{\partial t} \right\}\Delta t + O(\Delta t^2) $$ これを代入すると $$ J^o(x(t),t) = \min_u\left\{ J^o(x(t),t) + \left\{ \frac{\partial J^o}{\partial x}f(x,u,t) + \frac{\partial J^o}{\partial t} \right\}\Delta t + \int_t^{t+\Delta t} L(x(\tau),u(\tau),\tau)d\tau + O(\Delta t^2) \right\} $$ $J^o$及び$\frac{\partial J^o}{\partial t}$は$u$に陽に依存しないため、括り出して$\Delta t\rightarrow 0$とすると $$ \frac{\partial J^o}{\partial t} + \min_u\left\{ L(x,u,t) + \frac{\partial J^o}{\partial x}f(x,u,t) \right\} $$ が得られる。 残りはハミルトニアン及びラグランジュ乗数の定義を用いて終了。 ...

概要 今回からダイナミクスを持つシステムへの最適制御を考える。 考え方は前回の場合とそれほど変わらず、ダイナミクスを制約条件として考えると、必要条件として、二点の境界条件をもつ微分方程式が導出される。 今回はその導出と、問題を解くための数値計算法を紹介する。 教科書は引き続きE. Brysdn, Jr. Yu-Chi Ho, “Applied Optimal Control”, CRC Press, 1975を用いる。 離散時間システムの場合 問題 非線形の差分方程式で表されるつぎのシステムを考える。 $$ x(i+1) = f(x(i),u(i)), \quad x(0):\text{given}, \quad i = 0,\cdots,N-1. \tag{2.2.1} $$ ただし、$x(i)\in R^n$は状態ベクトル、$u(i)\in R^m$は入力ベクトルである。 以下の評価関数 $$J = \phi(x(N)) + \sum_{i=0}^{N-1}L(x(i),u(i))$$ を最小化する$u$を求めたい。 必要条件の導出 $(2.2.1)$は等式制約条件として捉えられる。 そのため、ラグランジュ乗数$\lambda(i)$を用いて $$\bar J := \phi(x(N)) + \sum_{i=0}^{N-1}\left[ L(x(i),u(i)) + \lambda^T(i+1){f(x(i),u(i)) - x(i+1)} \right] \tag{2.2.3}$$ を考える。 ハミルトニアン $$H^i := L(x(i),u(i)) + \lambda^T(i+1)f(x(i),u(i))$$ を定義すると、$(2.2.3)$は $$\bar J = \phi(x(N)) -\lambda^T(N)x(N) + \sum_{i=1}^{N-1}\left[ H^i - \lambda^T(i)x(i) \right] +H^0$$ と書き換えられる。 ...