$x(t)\in\mathbb R$の時間発展が、つぎの非線形ランジュバン方程式 $$ \dot x(t) = f(x(t)) + R(t) $$ で表されるとする。 ここで、$f:\mathbb R\to\mathbb R$は関数、$R:\mathbb R\to\mathbb R$はランダム力である。 $R(t)$はつぎの仮定を満たすとする。
- $R(t)$はガウス過程。 すなわち、$t_1,\ldots,t_k$を選んだとき、$R(t_1,\ldots,t_k):=(R(t_1),\ldots,R(t_k))$が多次元正規分布に従う。
- $\mathbb E[R(t)] = 0. $
- $\mathbb E[R(t)R(t’)] = D\delta(t-t’)$, ただし$D$は正の定数。
- $x(t)$と$R(t’)$が$t<t’$で独立。
時刻$t$に$x(t)$が$[x,x+dx]$にある確率を$p(x,t)dx$と定義する。 $p(x,t)$を分布関数という。 $p(x,t)$はつぎの仮定を満たすとする。
- $x\to\pm\infty$で$p(x,t)\to 0. $
- $x\to\pm\infty$で$\frac{\partial p(x,t)}{\partial x}\to 0. $
このとき、$p(x,t)$はつぎのフォッカープランク方程式に従う。 $$ \frac{\partial p(x,t)}{\partial t} = \left( -\frac{\partial }{\partial x}f(x) + \frac{\partial^2}{\partial x^2}\frac{D}{2} \right) p(x,t) $$
証明はいろんなところに載ってる。 あとで追記するかも。